Մաթեմատիկական ամբիոններ

1. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարած միջնագիծը 16 է, իսկ հիմքը` 8: Գտնել այդ եռանկյան սրունքին տարած միջնագիծը:
2. Հավասարասրուն եռանկյան սրունքը 60 է: Հիմքին իջեցված բարձրության միջնակետով տարված է սրունքներից մեկին զուգահեռ ուղիղ: Գտնել այդ ուղղի այն հատվածի երկարությունը, որն ընկած է եռանկյան կողմերի միջև:
3. Գտնել հավասարասրուն եռանկյան մակերեսը, եթե նրա հիմքի երկարությունը a է, իսկ հիմքին տարած բարձրությունը հավասար է այդ բարձրության հիմքը և սրունքի միջնակետը միացնող հատվածին:
4. Գտնել հավասարասրուն եռանկյան մակերեսը, եթե նրա հիմքին տարած բարձրությունը 10 է, իսկ սրունքին տարած բարձրությունը` 12:
5. ABC հավասարասրուն եռանկյան B գագաթից տարված է ուղիղ, որն AC հիմքը հատում է D կետում: Գտնել AB սրունքի երկարությունը, եթե BDC=60°, AD=3, DC=8:
6. Հավասարասրուն եռանկյան բարձրությունը 8 է, իսկ ներգծած շրջանագծի շառավիղը` 3: Գտնել  այդ եռանկյան կողմերը:
7. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրության երկարությունը h է, իսկ ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը` r: Գտնել եռանկյան պարագիծը:
8. Հավասարասրուն եռանկյանը ներգծված շրջանագծի կենտրոնը հիմքին տարած բարձրությունը տրոհում է 5 և 2 երկարությամբ հատվածների: Գտնել եռանկյան կողմերի երկարությունները:
9. Գտնել հավասարասրուն եռանկյան սրունքը, եթե հիմքը 6 է, իսկ ներգծած շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը հիմքի գագաթներից մեկից` 4:
10. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 12 է, իսկ հիմքին տարված բարձրությունը` 8: Գտնել եռանկյան սրունքը և ներգծած շրջանագծի մակերեսը:

Լուծում

11. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկի երկարությունը b է, իսկ այդ եռանկյան արտագծած շրջանագծի շառավիղը` R: Գտնել տրված էջով և ներքնաձիգով կազմած անկյան գագաթից տարված կիսորդի երկարությունը:
12. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերի երկարությունները 4 և 12 են: Որոշել տրված եռանկյունը ուղիղ անկյան կիսորդով տրոհելուց առաջացած եռանկյունների մակերեսները:
13. Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը  է, իսկ ուղիղ անկյան կիսորդը` 2: Գտնել եռանկյան մեծ սուր անկյունը:
14. Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան կիսորդը ներքնաձիգը տրոհում է 7 և 24 երկարությամբ հատվածների: Գտնել այդ եռանկյան ներգծած շրջանագծի շառավիղը:
15. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերի երկարությունները 3 և 6 են: Որոշել այն շրջանագծի շառավղի երկարությունը, որը շոշափում է էջերին, իսկ կենտրոնը գտնվում է ներքնաձիգի վրա:
16. ABC ուղղանկյուն եռանկյան AC էջըտրանագիծ ունեցող շրջանագիծը AB ներքնաձիգը հատում է K կետում: Գտնել CKB եռանկյան մակերեսը, եթե AC=12 և ABC=30°:
17. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերը 6 և 8 են: Գտնել եռանկյանը ներգծած և արտագծած շրջանագծերի կենտրոնների հեռավորությունը:
18. AB ներքնաձիգ ունեցող ABC ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը 30 է: Գտնել եռանկյան կողմերը, եթե AOB եռանկյան մակերեսը, որտեղ O-ն այդ եռանկյանը ներգծած շրջանի կենտրոնն է, 13 է:
19. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերի երկարությունները 30 և 40 են: Այդ եռանկյանը ներգծված է շրջանագիծ և միացված են շոշափման կետերը: Գտնել առաջացած եռանկյան մակերեսը:
20. ACB և ADB հավասար ուղղանկյուն եռանկյունները գտնվում են AB ընդհանուր ներքնաձիգի մի կողմում, ընդ որում AD=BC=12 և AC=BD=16-ի: Գտնել եռանկյունների ընդհանուր մասի մակերեսը:
21. ABC եռանկյան մակերեսը 45 է: AB, BC, CA կողմերի վրա համապատասխանաբար տրված են M, N, P կետեր այնպես, որ AM=2MB, BN=2NC, CP=2PA: Գտնել MNP եռանկյան մակերեսը:
22. ABC եռանկյան AB, BC, AC կողմերի վրա համապատասխանաբար վերցված են M, K և P կետեր այնպես, որ AM:MB=BK:KC=CP:PA=1:3: Գտնել ABC եռանկյան մակերեսը, եթե MKP եռանկյան մակերեսը 24 է:
23. ABC եռանկյան AC կողմի վրա M կետն ընտրված է այնպես, որ AM:MC=7:4: Գտնել AO:OD հարաբերությունը, որտեղ O-ն AD միջնագծի և BM հատվածի հատման կետն է:
24. AD ուղղով ABC եռանկյան BM միջնագիծը բաժանվում է 4:1 հարաբերությամբ` հաշված B-ից: Ինչ հարաբերությամբ է բաժանվում BMC եռանկյան մակերեսը AD-ին զուգահեռ ME ուղղով:
25. AD ուղղով ABC եռանկյան BM միջնագիծը բաժանվում է 5:1 հարաբերությամբ` մասերի (հաշված B-ից): Ինչ հարաբերությամբ է բաժանում այդ ուղիղը եռանկյան մակերեսը:
26. AD-ն ABC եռանկյան միջնագիծ է, իսկ M կետը AC կողմի վրա ընտրված է այնպես, որ AM:MC=1:3: Գտնել BO:OM հարաբերությունը, որտեղ O-ն BM և AD հատվածների հատման կետն է:
27. N կետը գտնվում է ABC եռանկյան BC կողմի վրա, իսկ M-ը` CA ճառագայթի վրա, ընդ որում AM=AC, BN:NC=3:4: Ինչ հարաբերությամբ է MN ուղիղը բաժանում AB կողմը:
28. ABC եռանկյան A անկյունը երկու անգամ մեծ է B անկյունից: Գտնել AC-ի երկարությունը, եթե BC=15 և AB=18:
29. ABC եռանկյան B գագաթից տարած բարձրությունը և միջնագիծը B անկյունը բաժանում են 3 հավասար մասերի: Գտնել եռանկյան անկյունները:
30. ABC եռանկյան մեջ AB=, BC=4, CA=5: BC կողմի վրա D կետը վերցված է այնպես, որ BD=1: Գտնել ADB անկյունը:
31. Եռանկյան կողմը բաժանված է երեք հավասար մասերի և բաժանման կետերից տարված են մյուս կողմերից մեկին զուգահեռ ուղիներ: Գտնել այդ զուգահեռ ուղիներով առաջացած սեղանի մակերեսը, եթե տրված եռանկյան մակերեսը15 է:
32. ABC եռանկյան մեջ տարված են BD բարձրությունը և D կետից BC կողմին զուգահեռ ուղիղ, որն AB կողմը հատում է E կետում: Գտնել BC կողմի երկարությունը, եթե BE=10, CD=15 և AE+AD=15:
33. ABC եռանկյան մեջ AB=9, BC=12, AC=6: AB կողմի վրա D կետը վերցված է այնպես, որ AD=4: Գտնել CD հատվածի երկարությունը:
34. Եռանկյան մակերեսը 56 է: Կողմերից մեկը 14 է, իսկ նրան կից անկյուններից մեկը` 45°: Գտնել այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:
35. Եռանկյան մի կողմը 17 է, իսկ նրա պրոյեկցիան մեծ կողմի վրա` 8: Գտնել այդ եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը, եթե արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը  է:
36. ABC սուրանկյուն եռանկյան BC կողմը 25 է, BD բարձրությունը` 15: Գտնել այդ եռանկյան մյուս երկու կողմերը, եթե եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը 32.5 է:
37. ABC եռանկյան մեջ BC:AC:AB=2:4:3, իսկ BD և CE կիսորդները հատվում են O կետում: Որոշել OD:OB հարաբերությունը:
38. ABC եռանկյան մեջ տարված է BD անկյան կիսորդը: Գտնել AB և BC կողմերի երկարությունները, եթե ADB=ABC, AD=8, CD=10:
39. ABC եռանկյան մեջ տարված են AD և CE միջնագծերը: Գտնել ABC եռանկյան մակերեսը, եթե AD=5, DAC= և ECA=:
40. ABC եռանկյան AN և BM միջնագծերը հատվում են K կետում և AKB=30°: Գտնել այդ եռանկյան մակերեսը, եթե AN=6, BM=9:
41. Եռանկյան երկու միջնագծերը փոխուղղահայաց են և ունեն 16 և 12 երկարություն: Գտնել եռանկյան մակերեսը:
42. ABC եռանկյան AD և BE միջնագծերը միմյանց ուղղահայաց են և նրանց երկարությունների գումարը 18 է: Գտնել ABC եռանկյան մակերեսը, եթե AB=10:
43. Եռանկյան երկու կողմերը 6 և 8 են: Այդ կողմերին տարված միջնագծերը փոխուղղահայաց են: Որոշել երրորդ կողմի երկարությունը:
44. ABC եռանկյան մեջ AB=13, BC=20 և AC=21: BD-ն եռանկյան բարձրությունն է: Գտնել D կետի հեռավորությունը BC կողմից:
45. ABC եռանկյան մեջ AB=14, BC=13 և AC=15: Գտնել մեծ կողմի միջնակետի հեռավորությունը AB կողմից:
46. ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագիծը շոշափման կետով BC կողմը տրոհում է 2 և 3 երկարությամբ հատվածների: Գտնել եռանկյան մակերեսը, եթե BAC=60°:
47. ABC եռանկյան AC կողմի, որպես տրամագծի վրա կառուցած շրջանագիծն անցնում է BC կողմի միջնակետով և D կետում հատում է AB կողմը: Գտնել ABC եռանկյան մակերեսը, եթե AC=12 և BD:AD=1:7:
48. ABC եռանկյան AC կողմի, որպես տրամագծի վրա կառուցած շրջանագիծն անցնում է BC կողմի միջնակետով և D կետում հատում է AB կողմը: Գտնել ABC եռանկյան մակերեսը, եթե AC=12 և AD:BD=5:4:
49. Որոշել այն շրջանագծի շառավղի երկարությունը, որը շոշափում է 6, 25 և 29 կողմեր ունեցող եռանկյան երկու կողմերը, իսկ կենտրոնը գտնվում է մեծ կողմի վրա:
50. Սեղանի հիմքերի երկարությունները 11 և 6 են, իսկ սրունքներ գումարը 7: Գտնել սեղանի բարձրությունը, եթե սեղանի հիմքին առընթեր անկյունների գումարը 900 Է:
51.  Ուղիղ պրիզմայի հիմքը ABC եռանկյունն է, որի B անկյունը 1200 է: Կողմնային նիստերի անկյունագծերով կազմված AB1C անկյունը 900 է: Որոշել պրիզմայի ծավալը, եթե AB=4, BC=6:
52. Ուղիղ պրիզմայի հիմքը 1200 անկյունով և 8 սրունքով հավասարասրուն եռանկյուն է, և նրա հավասար կողմնային նիստերի ընդհանուր գագաթից տարված անկյունագծերը իրաի հետ կազմում են 600 անկյուն: Գտնել պրիզմայի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:
53. Ուղիղ պրիզմայի հիմքը 600  սուր անկյունով և  երկարությամբ էջով ուղղանկյուն եռանկյուն է: Ներքնաձիգով անցնող կողմնային նիստի անկյունագիծը տրված էջով անցնող կողմնային նիստի հետ կազմում է 450 անկյուն: Գտնել պրիզմայի ծավալը:
54. Ուղիղ պրիզմայի հիմքը ուղղանկյուն եռանկյուն է, որի ներքնաձիգը 6 է, իսկ սուր անկյունը` 300: Այդ անկյան դիմացի էջը պարունակող կողմնային նիստի անկյունագիծը մեծ կողմնային նիստի անկյունագծի հետ կազմում է 600 անկյուն: Որոշել պրիզմայի բարձրությունը:
55. Ուղիղ եռանկյուն պրիզմայի հիմքի մակերեսը 4 է, իսկ կողմնային նիստերի մակերեսները` 9, 10 և 17: Գտնել պրիզմայի ծավալը:
56. Ուղիղ պրիզմայի հիմքը 48 պարագծով եռանկյուն է: Կողմնային նիստերի մակերեսները 40, 68 և 84 են: Գտնել պրիզմայի ծավալը:
57. Ուղիղ եռանկյուն պրիզմայի հիմքի կողմերը 10,17 և 21 են, իսկ պրիզմայի բարձրությունը` 18: Գտնել կողմնային կողով և հիմքի փոքր բարձրությունով անցնող հատույթի մակերեսը:
58. Ուղիղ պրիզմայի հիմքը 12 կողմով և նրան առընթեր 30°, 45° անկյուններով եռանկյուն է: Այդ կողմը պարունակող կողմնային նիստի անկյունագիծը հիմքի հարթության հետ կազմում է 60° անկյուն: Որոշել պրիզմայի ծավալը:
59.  Ուղիղ պրիզմայի հիմքը 4 և նրան առընթեր 30°, 45° անկյուններով եռանկյուն է: Այդ կողմով տարված է հարթություն, որը հիմքի հարթության հետ կազմում է 60° անկյուն և հատում է հանդիպակաց կողմնային կողը: Որոշել առաջացած բուրգի ծավալը:
60.  ABCA1B1C1 կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի հիմքի կողմը 6 է, իսկ կողմնային կողը` 4: Գտնել A և B գագաթներով և B1C1 կողի միջնակետով անցնող հատույթի մակերեսը: